Sa teorya ng posibilidad, mayroong isang pangkat ng mga problema kung saan sapat na malaman ang klasikal na kahulugan ng posibilidad at biswal na kumakatawan sa iminungkahing sitwasyon. Kabilang sa mga naturang problema ang karamihan sa mga problema sa pag-tos ng barya at mga problema sa pag-roll ng dice. Alalahanin natin ang klasikal na kahulugan ng posibilidad.
Ang posibilidad ng kaganapan A (ang layunin na posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa mga terminong numero) ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga resultang paborable sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi magkatugma na mga resulta sa elementarya: P(A)=m/n, Saan:
- m ay ang bilang ng mga resulta ng elementarya na pagsusulit na paborable sa paglitaw ng kaganapan A;
- n ay ang kabuuang bilang ng lahat ng posibleng resulta ng pagsubok sa elementarya.
Maginhawa upang matukoy ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya na pagsubok at ang bilang ng mga kanais-nais na resulta sa mga problemang isinasaalang-alang sa pamamagitan ng pagbilang ng lahat ng posibleng opsyon (mga kumbinasyon) at direktang pagbilang.
Mula sa talahanayan, makikita natin na ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=4. Ang mga kanais-nais na resulta ng kaganapan A = (lumalabas ang mga ulo nang 1 beses) ay tumutugma sa opsyon No. 2 at No. 3 ng eksperimento, mayroong dalawang ganoong opsyon m = 2.
Hanapin ang posibilidad ng kaganapan P(A)=m/n=2/4=0.5
Problema 2 . Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay ihahagis nang dalawang beses. Hanapin ang posibilidad na wala kang mga ulo.
Solusyon
. Dahil ang barya ay inihagis ng dalawang beses, kung gayon, tulad ng sa problema 1, ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=4. Ang mga kanais-nais na resulta ng kaganapan A = (hindi lilitaw ang mga ulo kahit isang beses) ay tumutugma sa opsyon No. 4 ng eksperimento (tingnan ang talahanayan sa problema 1). Mayroon lamang isang pagpipilian, na nangangahulugang m=1.
Hanapin ang posibilidad ng kaganapan P(A)=m/n=1/4=0.25
Suliranin 3 . Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay inihahagis ng tatlong beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang eksaktong 2 beses.
Solusyon . Ipinakita namin ang mga posibleng opsyon para sa tatlong coin tosses (lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga ulo at buntot) sa anyo ng isang talahanayan:
Mula sa talahanayan nakita natin na ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=8. Ang mga kanais-nais na resulta ng kaganapan A = (lumalabas ang mga ulo ng 2 beses) ay tumutugma sa mga opsyon No. 5, 6 at 7 ng eksperimento. Mayroong tatlong mga pagpipilian, na nangangahulugang m=3.
Hanapin ang posibilidad ng kaganapan P(A)=m/n=3/8=0.375
Suliranin 4 . Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay ihahagis ng apat na beses. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang eksaktong 3 beses.
Solusyon . Ipinakita namin ang mga posibleng opsyon para sa apat na coin tosses (lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga ulo at buntot) sa anyo ng isang talahanayan:
| Opsyon Blg. | 1st throw | 2nd throw | 3rd throw | 4th throw | Opsyon Blg. | 1st throw | 2nd throw | 3rd throw | 4th throw |
| 1 | Agila | Agila | Agila | Agila | 9 | Mga buntot | Agila | Mga buntot | Agila |
| 2 | Agila | Mga buntot | Mga buntot | Mga buntot | 10 | Agila | Mga buntot | Agila | Mga buntot |
| 3 | Mga buntot | Agila | Mga buntot | Mga buntot | 11 | Agila | Mga buntot | Mga buntot | Agila |
| 4 | Mga buntot | Mga buntot | Agila | Mga buntot | 12 | Agila | Agila | Agila | Mga buntot |
| 5 | Mga buntot | Mga buntot | Mga buntot | Agila | 13 | Mga buntot | Agila | Agila | Agila |
| 6 | Agila | Agila | Mga buntot | Mga buntot | 14 | Agila | Mga buntot | Agila | Agila |
| 7 | Mga buntot | Agila | Agila | Mga buntot | 15 | Agila | Agila | Mga buntot | Agila |
| 8 | Mga buntot | Mga buntot | Agila | Agila | 16 | Mga buntot | Mga buntot | Mga buntot | Mga buntot |
Mula sa talahanayan, makikita natin na ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=16. Ang mga kanais-nais na resulta ng kaganapan A = (lalabas ang mga ulo ng 3 beses) ay tumutugma sa mga opsyon No. 12, 13, 14 at 15 ng eksperimento, na nangangahulugang m = 4.
Hanapin ang posibilidad ng kaganapan P(A)=m/n=4/16=0.25
 |
Pagtukoy sa Probability sa Mga Problema sa Dice
Suliranin 5 . Tukuyin ang posibilidad na kapag naghagis ng dice (isang patas na dice) makakakuha ka ng higit sa 3 puntos.
Solusyon
. Kapag naghahagis ng dice (isang regular na dice), maaaring mahulog ang alinman sa anim na mukha nito, i.e. nangyari ang alinman sa mga elementarya na kaganapan - ang pagkawala ng 1 hanggang 6 na tuldok (puntos). Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=6.
Event A = (higit sa 3 puntos na pinagsama) ay nangangahulugan na 4, 5 o 6 na puntos (puntos) na pinagsama. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ay m=3.
Probability ng kaganapan P(A)=m/n=3/6=0.5
Suliranin 6 . Tukuyin ang posibilidad na kapag naghahagis ng dice makakakuha ka ng bilang ng mga puntos na hindi hihigit sa 4. Bilugan ang resulta sa pinakamalapit na ikalibo.
Solusyon
. Kapag naghagis ng die, maaaring mahulog ang alinman sa anim na mukha nito, i.e. nangyari ang alinman sa mga elementarya na kaganapan - ang pagkawala ng 1 hanggang 6 na tuldok (puntos). Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=6.
Event A = (hindi hihigit sa 4 na puntos na pinagsama) ay nangangahulugan na 4, 3, 2 o 1 punto (punto) na pinagsama. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ay m=4.
Probabilidad ng kaganapan Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667
Suliranin 7 . Ang dice ay itinapon ng dalawang beses. Hanapin ang posibilidad na ang bilang na pinagsama ay mas mababa sa 4 sa parehong beses.
Solusyon . Dahil ang mga dice (dice) ay inihagis ng dalawang beses, tayo ay mangangatuwiran tulad ng sumusunod: kung ang unang die ay nagpapakita ng isang puntos, ang pangalawang die ay makakakuha ng 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nakukuha natin ang mga pares (1;1). ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) at iba pa sa bawat mukha. Ipakita natin ang lahat ng mga kaso sa anyo ng isang talahanayan ng 6 na hanay at 6 na hanay:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Kinakalkula namin ang mga kanais-nais na resulta ng kaganapan A = (parehong beses na mas mababa sa 4 ang bilang) (naka-highlight ang mga ito nang bold) at nakukuha namin ang m=9.
Hanapin ang posibilidad ng kaganapan P(A)=m/n=9/36=0.25
Suliranin 8 . Ang dice ay itinapon ng dalawang beses. Hanapin ang posibilidad na ang mas malaki sa dalawang numero na iginuhit ay 5. Bilugan ang iyong sagot sa pinakamalapit na libo.
Solusyon . Ipinakita namin ang lahat ng posibleng resulta ng dalawang paghagis ng dice sa talahanayan:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Mula sa talahanayan, makikita natin na ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=6*6=36.
Kinakalkula namin ang mga kanais-nais na kinalabasan ng kaganapan A = (ang pinakamalaki sa dalawang numero na iginuhit ay 5) (naka-highlight ang mga ito nang bold) at makakuha ng m=8.
Hanapin ang posibilidad ng kaganapan P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222
Suliranin 9 . Ang dice ay itinapon ng dalawang beses. Hanapin ang posibilidad na ang isang numero na mas mababa sa 4 ay pinagsama nang hindi bababa sa isang beses.
Solusyon . Ipinakita namin ang lahat ng posibleng resulta ng dalawang paghagis ng dice sa talahanayan:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Mula sa talahanayan, makikita natin na ang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya ay n=6*6=36.
Ang pariralang "kahit isang beses lumabas ang isang numerong mas mababa sa 4" ay nangangahulugang "isang numerong mas mababa sa 4 ang lumabas nang isang beses o dalawang beses", pagkatapos ay ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ng kaganapang A = (kahit isang beses lumabas ang isang numerong mas mababa sa 4. ) (sila ay naka-highlight sa bold) m=27.
Hanapin ang posibilidad ng kaganapan P(A)=m/n=27/36=0.75
Paglalarawan ng pagtatanghal sa pamamagitan ng mga indibidwal na slide:
1 slide
Paglalarawan ng slide:
Paglutas ng mga problema sa teorya ng posibilidad. Guro sa matematika MBOU Nivnyanskaya sekundaryong paaralan, Nechaeva Tamara Ivanovna
2 slide
Paglalarawan ng slide:
Mga layunin ng aralin: upang isaalang-alang ang iba't ibang uri ng mga problema sa teorya ng posibilidad at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Mga layunin ng aralin: upang turuan ang mga mag-aaral na kilalanin ang iba't ibang uri ng mga problema sa teorya ng posibilidad at pagbutihin ang lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral.
3 slide
Paglalarawan ng slide:
Problema 1. Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay inihahagis ng 2 beses. Hanapin ang posibilidad na makakuha ka ng parehong bilang ng mga ulo at buntot.
4 slide
Paglalarawan ng slide:
Suliranin 2. Ang barya ay ihahagis ng apat na beses. Hanapin ang posibilidad na hindi ka magkakaroon ng mga ulo.
5 slide
Paglalarawan ng slide:
Problema 3. Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay ihahagis ng dalawang beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang eksaktong isang beses. Solusyon: Upang mahanap ang probabilidad ng isang tinukoy na kaganapan, kinakailangang isaalang-alang ang lahat ng posibleng resulta ng eksperimento, at pagkatapos ay pumili ng mga kanais-nais na resulta mula sa kanila (ang mga paborableng resulta ay mga resulta na nakakatugon sa mga kinakailangan ng problema). Sa aming kaso, ang mga kanais-nais na resulta ay ang mga kung saan, na may dalawang paghagis ng simetriko na barya, ang mga ulo ay lalabas nang isang beses lamang. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay kinakalkula bilang ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta sa kabuuang bilang ng mga resulta. Samakatuwid, ang posibilidad na kapag naghagis ng simetriko na barya dalawang beses, ang mga ulo ay lilitaw nang isang beses lamang ay katumbas ng: P = 2/4 = 0.5 = 50% Sagot: ang posibilidad na, bilang resulta ng eksperimento sa itaas, ang mga ulo ay lilitaw nang isang beses lamang ay 50 %. Numero ng eksperimento 1st throw 2nd throw Bilang ng beses na head 1 Heads Heads 2 2 Tails Tails 0 3 Heads Tails 1 4 Tails Heads 1
6 slide
Paglalarawan ng slide:
Problema 4. Ang dice ay inihagis ng isang beses. Ano ang posibilidad na ang bilang ng mga puntos na pinagsama ay higit sa 4. Solusyon: Random na eksperimento - paghahagis ng die. Ang elementarya na kaganapan ay ang numero sa ibinagsak na bahagi. Sagot: 1/3 Kabuuang mukha: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Mga kaganapan sa elementarya: N=6 N(A)=2
7 slide
Paglalarawan ng slide:
Problema 5. Ang isang biathlete ay bumaril sa mga target ng limang beses. Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.8. Hanapin ang posibilidad na ang biathlete ay tumama sa mga target sa unang tatlong beses at hindi nakuha ang huling dalawang beses. Bilugan ang resulta sa hundredths. Solusyon: Probability of hit = 0.8 Probability of miss = 1 - 0.8 = 0.2 A = (hit, hit, hit, missed, missed) Ayon sa probability multiplication formula P(A) = 0.8 ∙ 0.8 ∙ 0.8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 P (A) = 0.512 ∙ 0.04 = 0.02048 ≈ 0.02 Sagot: 0.02
8 slide
Paglalarawan ng slide:
Problema 6. Sa isang random na eksperimento, dalawang dice ang itinapon. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ng mga puntos na iginuhit ay 6. Bilugan ang sagot sa pinakamalapit na ikasandaang Solusyon: Ang elementarya na kinalabasan sa eksperimentong ito ay isang nakaayos na pares ng mga numero. Ang unang numero ay lilitaw sa unang mamatay, ang pangalawa sa pangalawa. Maginhawang kumatawan sa maraming elementarya na kinalabasan sa isang talahanayan. Ang mga row ay tumutugma sa bilang ng mga puntos sa unang die, ang mga column sa pangalawang die. Ang kabuuang bilang ng mga elementarya na kaganapan ay n = 36. Isulat natin sa bawat cell ang kabuuan ng mga puntos na iginuhit at kulayan ang mga cell kung saan ang kabuuan ay katumbas ng 6. Mayroong 5 tulad na mga cell. Nangangahulugan ito na ang kaganapan A = (ang kabuuan ng mga puntos na iginuhit ay 6) ay pinapaboran ng 5 elementarya na kinalabasan. Samakatuwid, m = 5. Samakatuwid, P(A) = 5/36 = 0.14. Sagot: 0.14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
Slide 9
Paglalarawan ng slide:
Probability formula Theorem Hayaang ihagis ang isang barya ng n beses. Kung gayon ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang eksakto k beses ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: Kung saan ang Cnk ay ang bilang ng mga kumbinasyon ng n elemento sa k, na kinakalkula ng formula:
10 slide
Paglalarawan ng slide:
Suliranin 7. Ang barya ay ihahagis ng apat na beses. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang eksaktong tatlong beses. Solusyon Ayon sa mga kondisyon ng problema, mayroong n = 4 na throws sa kabuuan. Kinakailangang bilang ng mga agila: k =3. Pinapalitan natin ang n at k sa formula: Sa parehong tagumpay, mabibilang natin ang bilang ng mga ulo: k = 4 − 3 = 1. Magiging pareho ang sagot. Sagot: 0.25
11 slide
Paglalarawan ng slide:
Suliranin 8. Ang barya ay inihahagis ng tatlong beses. Hanapin ang posibilidad na hindi ka magkakaroon ng mga ulo. Solusyon Isulat namin muli ang mga numero n at k. Dahil ang barya ay inihagis ng 3 beses, n = 3. At dahil dapat walang mga ulo, k = 0. Ito ay nananatiling palitan ang mga numero n at k sa formula: Hayaan akong ipaalala sa iyo na 0! = 1 ayon sa kahulugan. Samakatuwid C30 = 1. Sagot: 0.125
12 slide
Paglalarawan ng slide:
Problema 9. Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay ihahagis ng 4 na beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang mas maraming beses kaysa sa mga buntot. Solusyon: Upang magkaroon ng mas maraming ulo kaysa sa mga buntot, dapat silang lumitaw nang 3 beses (pagkatapos ay magkakaroon ng 1 buntot) o 4 na beses (pagkatapos ay walang mga buntot). Hanapin natin ang posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito. Hayaang p1 ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo ng 3 beses. Pagkatapos n = 4, k = 3. Mayroon tayong: Ngayon hanapin natin ang p2 - ang posibilidad na ang mga ulo ay mapunta sa lahat ng 4 na beses. Sa kasong ito, n = 4, k = 4. Mayroon kaming: Upang makuha ang sagot, nananatili itong idagdag ang mga probabilidad p1 at p2. Tandaan: maaari ka lamang magdagdag ng mga probabilidad para sa mga kaganapang kapwa eksklusibo. Mayroon kaming: p = p1 + p2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125 Sagot: 0.3125
Slide 13
Paglalarawan ng slide:
Problema 10. Bago magsimula ang isang laban ng volleyball, ang mga kapitan ng koponan ay gumuhit ng patas na lot upang matukoy kung aling koponan ang magsisimula ng laro gamit ang bola. Ang koponan ng "Stator" ay humalili sa paglalaro sa mga koponan ng "Rotor", "Motor" at "Starter". Hanapin ang posibilidad na ang Stator ay magsisimula lamang sa una at huling mga laro. Solusyon. Kailangan mong hanapin ang posibilidad ng tatlong kaganapang nangyayari: "Stator" ang magsisimula sa unang laro, hindi magsisimula sa pangalawang laro, at magsisimula sa ikatlong laro. Ang posibilidad ng isang produkto ng mga independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito. Ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay 0.5, kung saan makikita natin ang: 0.5·0.5·0.5 = 0.125. Sagot: 0.125.
Sa mga problema sa probability theory, na ipinakita sa Unified State Exam number 4, bilang karagdagan sa, may mga problema sa paghuhugas ng barya at paghagis ng dice. Titingnan natin sila ngayon.
Mga problema sa paghagis ng barya
Gawain 1. Ang isang simetriko na barya ay ihahagis ng dalawang beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang eksaktong isang beses.
Sa ganitong mga problema, maginhawang isulat ang lahat ng posibleng resulta, isulat ang mga ito gamit ang mga titik P (buntot) at O (ulo). Kaya, ang kinalabasan ng OP ay nangangahulugan na sa unang paghagis ito ay umabot sa mga ulo, at sa pangalawang paghagis ay umabot ito ng mga buntot. Sa problemang isinasaalang-alang, mayroong 4 na posibleng resulta: RR, RO, O, OO. Ang kaganapang "tails will appear exactly once" ay pinapaboran ng 2 resulta: RO at OP. Ang kinakailangang probabilidad ay katumbas ng .
Sagot: 0.5.
Gawain 2. Ang isang simetriko na barya ay inihahagis ng tatlong beses. Hanapin ang posibilidad na ito ay mapunta sa mga ulo nang eksaktong dalawang beses.
Mayroong 8 posibleng resulta sa kabuuan: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Ang kaganapang "mga ulo ay lalabas nang dalawang beses" ay pinapaboran ng 3 resulta: ROO, ORO, OOR. Ang kinakailangang probabilidad ay katumbas ng .
Sagot: 0.375.
Gawain 3. Bago magsimula ang isang football match, ang referee ay nag-flip ng barya upang matukoy kung aling koponan ang magsisimula sa bola. Ang koponan ng Emerald ay naglalaro ng tatlong laban sa iba't ibang mga koponan. Hanapin ang posibilidad na sa mga larong ito si "Emerald" ay mananalo sa lot nang isang beses.
Ang gawaing ito ay katulad ng nauna. Hayaan ang bawat oras na ang mga landing head ay nangangahulugang panalo sa lot gamit ang "Emerald" (ang pagpapalagay na ito ay hindi nakakaapekto sa pagkalkula ng mga probabilidad). Pagkatapos ay 8 resulta ang posible: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Ang kaganapang "tails will appear exactly once" ay pinapaboran ng 3 resulta: ROO, ORO, OOR. Ang kinakailangang probabilidad ay katumbas ng .
Sagot: 0.375.
Suliranin 4. Ang isang simetriko na barya ay inihahagis ng tatlong beses. Hanapin ang posibilidad na magaganap ang kinalabasan ng ROO (sa unang pagkakataong mapunta ito sa mga ulo, sa pangalawa at pangatlong beses na mapunta ito sa mga ulo).
Tulad ng sa mga nakaraang gawain, mayroong 8 kinalabasan: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Ang posibilidad na mangyari ang resulta ng ROO ay katumbas ng .
Sagot: 0.125.
Mga problema sa pag-roll ng dice
Gawain 5. Ang dice ay itinapon ng dalawang beses. Ilang elementarya na kinalabasan ng eksperimento ang pabor sa kaganapang "ang kabuuan ng mga puntos ay 8"?
Suliranin 6. Dalawang dice ang itinapon ng sabay. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ay 4 na puntos. Bilugan ang resulta sa hundredths.
Sa pangkalahatan, kung ang mga dice ay itinapon, may mga pantay na posibleng resulta. Ang parehong bilang ng mga resulta ay nakukuha kung ang parehong die ay pinagsama ng ilang beses sa isang hilera.
Ang kaganapang "ang kabuuang bilang ay 4" ay pinapaboran ng mga sumusunod na resulta: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Ang kanilang numero ay 3. Ang kinakailangang posibilidad ay .
Upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang fraction, maginhawang gamitin ang paghahati ng anggulo. Kaya, humigit-kumulang katumbas ng 0.083..., bilugan sa pinakamalapit na hundredth mayroon kaming 0.08.
Sagot: 0.08
Suliranin 7. Tatlong dice ang itinapon ng sabay. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ay magiging 5 puntos. Bilugan ang resulta sa hundredths.
Ang resulta ay ituturing na tatlong numero: ang mga puntos na pinagsama sa una, pangalawa at pangatlong dice. Mayroong pantay na posibleng mga resulta. Ang mga sumusunod na resulta ay paborable para sa “kabuuang 5” na kaganapan: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Ang kanilang numero ay 6. Ang kinakailangang posibilidad ay . Upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang fraction, maginhawang gamitin ang paghahati ng anggulo. Tinatayang nakakakuha tayo ng 0.027..., rounding to hundredths, mayroon tayong 0.03. Pinagmulan "Paghahanda para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado. Mathematics. Teorya ng posibilidad". Inedit ni F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova
Ang mga problema sa coin toss ay itinuturing na medyo mahirap. At bago malutas ang mga ito, kailangan ng kaunting paliwanag. Pag-isipan ito, ang anumang problema sa probability theory sa huli ay bumaba sa karaniwang formula:
kung saan ang p ay ang nais na posibilidad, ang k ay ang bilang ng mga kaganapan na angkop sa atin, n ay ang kabuuang bilang ng mga posibleng kaganapan.
Karamihan sa mga problema sa B6 ay maaaring malutas gamit ang formula na ito nang literal sa isang linya - basahin lamang ang kundisyon. Ngunit sa kaso ng paghuhugas ng mga barya, ang formula na ito ay walang silbi, dahil mula sa teksto ng mga naturang problema ay hindi malinaw kung ano ang katumbas ng mga numero k at n. Dito nakasalalay ang kahirapan.
Gayunpaman, mayroong hindi bababa sa dalawang pangunahing magkakaibang mga pamamaraan ng solusyon:
- Ang paraan ng pag-enumerate ng mga kumbinasyon ay isang karaniwang algorithm. Ang lahat ng mga kumbinasyon ng mga ulo at buntot ay nakasulat, pagkatapos kung saan ang mga kinakailangan ay napili;
- Ang isang espesyal na formula ng posibilidad ay isang karaniwang kahulugan ng posibilidad, na espesyal na isinulat muli upang ito ay maginhawa upang gumana sa mga barya.
Upang malutas ang problema B6 kailangan mong malaman ang parehong mga pamamaraan. Sa kasamaang palad, ang una lamang ang itinuturo sa mga paaralan. Huwag na nating ulitin ang mga pagkakamali sa paaralan. Kaya, tayo na!
Kumbinasyon na paraan ng paghahanap
Ang pamamaraang ito ay tinatawag ding "solusyon sa unahan". Binubuo ng tatlong hakbang:
- Isinulat namin ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga ulo at buntot. Halimbawa: O, RO, OO, RR. Ang bilang ng naturang mga kumbinasyon ay n;
- Kabilang sa mga kumbinasyon na nakuha, tandaan namin ang mga kinakailangan ng mga kondisyon ng problema. Binibilang namin ang mga minarkahang kumbinasyon - nakukuha namin ang numero k;
- Ito ay nananatiling mahanap ang posibilidad: p = k: n.
Sa kasamaang palad, ang pamamaraang ito ay gumagana lamang para sa isang maliit na bilang ng mga throws. Dahil sa bawat bagong throw ay doble ang bilang ng mga kumbinasyon. Halimbawa, para sa 2 barya kailangan mong isulat ang 4 na kumbinasyon lamang. Para sa 3 barya mayroon nang 8 sa kanila, at para sa 4 - 16, at ang posibilidad ng error ay papalapit sa 100%. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:
Gawain. Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay ihahagis nang dalawang beses. Hanapin ang posibilidad na makakuha ka ng parehong bilang ng mga ulo at buntot.
Kaya, ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Isulat natin ang lahat ng posibleng kumbinasyon (O - ulo, P - buntot):
Kabuuang n = 4 na opsyon. Ngayon isulat natin ang mga opsyon na angkop sa mga kondisyon ng problema:
Mayroong k = 2 ganoong mga opsyon. Hanapin ang posibilidad:
Gawain. Ang barya ay inihagis ng apat na beses. Hanapin ang posibilidad na hindi ka magkakaroon ng mga ulo.
Muli naming isulat ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga ulo at buntot:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Sa kabuuan mayroong n = 16 na mga pagpipilian. Parang wala akong nakalimutan. Sa mga opsyong ito, nasisiyahan lang kami sa kumbinasyong "OOOO", na hindi naglalaman ng mga buntot. Samakatuwid, k = 1. Ito ay nananatiling mahanap ang posibilidad:
Tulad ng nakikita mo, sa huling problema kailangan kong isulat ang 16 na pagpipilian. Sigurado ka bang maaari mong isulat ang mga ito nang hindi nagkakamali? Sa personal, hindi ako sigurado. Kaya tingnan natin ang pangalawang solusyon.
Espesyal na formula ng posibilidad
Kaya, ang mga problema sa barya ay may sariling probability formula. Napakasimple at mahalaga kaya nagpasya akong bumalangkas nito sa anyo ng isang teorama. Tingnan mo:
Teorama. Hayaang ihagis ang barya ng n beses. Pagkatapos ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang eksakto k beses ay matatagpuan gamit ang formula:
Kung saan ang C n k ay ang bilang ng mga kumbinasyon ng n elemento ng k, na kinakalkula ng formula:
Kaya, upang malutas ang problema sa barya, kailangan mo ng dalawang numero: ang bilang ng mga tosses at ang bilang ng mga ulo. Kadalasan, ang mga numerong ito ay direktang ibinibigay sa teksto ng problema. Bukod dito, hindi mahalaga kung ano ang eksaktong binibilang mo: mga buntot o ulo. Magiging pareho ang sagot.
Sa unang sulyap, ang teorama ay tila napakahirap. Ngunit sa sandaling magsanay ka nang kaunti, hindi mo na gugustuhing bumalik sa karaniwang algorithm na inilarawan sa itaas.
Gawain. Ang barya ay inihagis ng apat na beses. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang eksaktong tatlong beses.
Ayon sa mga kondisyon ng problema, mayroong n = 4 na kabuuang paghagis. Ang kinakailangang bilang ng mga ulo: k = 3. Palitan ang n at k sa formula:
Gawain. Ang barya ay inihagis ng tatlong beses. Hanapin ang posibilidad na hindi ka magkakaroon ng mga ulo.
Isinulat namin muli ang mga numero n at k. Dahil ang barya ay inihagis ng 3 beses, n = 3. At dahil dapat walang mga ulo, k = 0. Nananatili itong palitan ang mga numero n at k sa formula:
Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na 0! = 1 ayon sa kahulugan. Samakatuwid C 3 0 = 1.
Gawain. Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay inihahagis ng 4 na beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang mas maraming beses kaysa sa mga buntot.
Upang magkaroon ng mas maraming ulo kaysa sa mga buntot, dapat silang lumitaw nang 3 beses (pagkatapos ay magkakaroon ng 1 buntot) o 4 na beses (pagkatapos ay walang mga buntot). Hanapin natin ang posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito.
Hayaan ang p 1 ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang 3 beses. Pagkatapos n = 4, k = 3. Mayroon kaming:
Ngayon hanapin natin ang p 2 - ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw sa lahat ng 4 na beses. Sa kasong ito n = 4, k = 4. Mayroon kaming:
Upang makuha ang sagot, ang natitira lamang ay idagdag ang mga probabilidad p 1 at p 2 . Tandaan: maaari ka lamang magdagdag ng mga probabilidad para sa mga kaganapang kapwa eksklusibo. Meron kami:
p = p 1 + p 2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125
