एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सिक्का. एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। सममित सिक्के से समस्या का समाधान

संभाव्यता सिद्धांत में, समस्याओं का एक समूह होता है जिसके लिए संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा जानना और प्रस्तावित स्थिति का दृश्य रूप से प्रतिनिधित्व करना पर्याप्त है। ऐसी समस्याओं में अधिकांश सिक्का उछालने की समस्याएँ और पासा पलटने की समस्याएँ शामिल हैं। आइए संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा को याद करें।

घटना ए की संभावना (संख्यात्मक शब्दों में किसी घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना) इस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या और सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है: पी(ए)=एम/एन, कहाँ:

• एम घटना ए की घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की संख्या है;
• n सभी संभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या है।

सभी संभावित विकल्पों (संयोजनों) की गणना और प्रत्यक्ष गिनती द्वारा विचाराधीन समस्याओं में संभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की संख्या और अनुकूल परिणामों की संख्या निर्धारित करना सुविधाजनक है।

तालिका से हम देखते हैं कि संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=4 है। घटना के अनुकूल परिणाम A = (सिर 1 बार दिखाई देते हैं) प्रयोग के विकल्प संख्या 2 और संख्या 3 के अनुरूप हैं, ऐसे दो विकल्प हैं m = 2।
घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए P(A)=m/n=2/4=0.5

समस्या 2 . एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कोई चित नहीं मिलेगा।

समाधान . चूँकि सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो, समस्या 1 की तरह, संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=4 है। घटना ए के अनुकूल परिणाम = (शीर्ष एक बार भी दिखाई नहीं देंगे) प्रयोग के विकल्प संख्या 4 के अनुरूप हैं (समस्या 1 में तालिका देखें)। ऐसा केवल एक ही विकल्प है, जिसका अर्थ है m=1।
घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए P(A)=m/n=1/4=0.25

समस्या 3 . एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्का तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शीर्ष ठीक 2 बार दिखाई देंगे।

समाधान . हम एक तालिका के रूप में तीन सिक्कों को उछालने (चित और पट के सभी संभावित संयोजन) के संभावित विकल्प प्रस्तुत करते हैं:

तालिका से हम देखते हैं कि संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=8 है। घटना A = (सिर 2 बार दिखाई देते हैं) के अनुकूल परिणाम प्रयोग के विकल्प संख्या 5, 6 और 7 के अनुरूप हैं। ऐसे तीन विकल्प हैं, जिसका अर्थ है m=3.
घटना P(A)=m/n=3/8=0.375 की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

समस्या 4 . एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को चार बार उछाला जाता है। ठीक तीन बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान . हम एक तालिका के रूप में चार सिक्कों के उछाल (चित और पट के सभी संभावित संयोजन) के संभावित विकल्प प्रस्तुत करते हैं:

तालिका से हम देखते हैं कि संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=16 है। घटना के अनुकूल परिणाम A = (शीर्ष 3 बार दिखाई देंगे) प्रयोग के विकल्प संख्या 12, 13, 14 और 15 के अनुरूप हैं, जिसका अर्थ है m = 4।
घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए P(A)=m/n=4/16=0.25

पासा समस्याओं में संभाव्यता का निर्धारण

समस्या 5 . प्रायिकता निर्धारित करें कि एक पासा (एक उचित पासा) फेंकने पर आपको 3 से अधिक अंक मिलेंगे।

समाधान . एक पासा (एक नियमित पासा) फेंकते समय, उसके छह चेहरों में से कोई भी बाहर गिर सकता है, यानी। कोई भी प्रारंभिक घटना घटती है - 1 से 6 बिंदुओं (अंकों) की हानि। इसका मतलब है कि संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=6 है।
घटना ए = (3 से अधिक अंक लुढ़के) का अर्थ है कि 4, 5 या 6 अंक (अंक) लुढ़के। इसका मतलब है कि अनुकूल परिणामों की संख्या m=3 है।
घटना की प्रायिकता P(A)=m/n=3/6=0.5

समस्या 6 . प्रायिकता निर्धारित करें कि पासा फेंकने पर आपको 4 से अधिक अंक नहीं मिलेंगे। परिणाम को निकटतम हजारवें भाग तक पूर्णांकित करें।

समाधान . पासा फेंकते समय उसके छह में से कोई भी फलक बाहर गिर सकता है, अर्थात्। कोई भी प्रारंभिक घटना घटती है - 1 से 6 बिंदुओं (अंकों) की हानि। इसका मतलब है कि संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=6 है।
घटना ए = (4 अंक से अधिक नहीं लुढ़का) का अर्थ है कि 4, 3, 2 या 1 अंक (बिंदु) लुढ़का। इसका मतलब है कि अनुकूल परिणामों की संख्या m=4 है।
घटना की संभावना Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667

समस्या 7 . पासे दो बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों बार लुढ़की हुई संख्या 4 से कम है।

समाधान . चूंकि पासे (पासे) दो बार फेंके जाते हैं, हम इस प्रकार तर्क देंगे: यदि पहला पासा एक बिंदु दिखाता है, तो दूसरे पासे पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 मिल सकते हैं। हमें जोड़े मिलते हैं (1;1) ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) इत्यादि प्रत्येक चेहरे के साथ। आइए सभी मामलों को 6 पंक्तियों और 6 स्तंभों की तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:

हम घटना के अनुकूल परिणामों की गणना करते हैं A = (दोनों बार संख्या 4 से कम थी) (उन्हें बोल्ड में हाइलाइट किया गया है) और हमें m=9 मिलता है।
घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए P(A)=m/n=9/36=0.25

समस्या 8 . पासे दो बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई दो संख्याओं में से बड़ी संख्या 5 है। अपने उत्तर को निकटतम हजार तक पूर्णांकित करें।

समाधान . हम तालिका में दो पासों को फेंकने के सभी संभावित परिणाम प्रस्तुत करते हैं:

तालिका से हम देखते हैं कि संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=6*6=36 है।
हम घटना के अनुकूल परिणामों की गणना करते हैं A = (निकाली गई दो संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या 5 है) (उन्हें बोल्ड में हाइलाइट किया गया है) और m=8 प्राप्त करते हैं।
घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222

समस्या 9 . पासे दो बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 4 से कम संख्या को कम से कम एक बार रोल किया जाता है।

समाधान . हम तालिका में दो पासों को फेंकने के सभी संभावित परिणाम प्रस्तुत करते हैं:

तालिका से हम देखते हैं कि संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या n=6*6=36 है।
वाक्यांश "कम से कम एक बार 4 से कम संख्या सामने आई" का अर्थ है "4 से कम एक संख्या एक या दो बार सामने आई", तो घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या ए = (कम से कम एक बार 4 से कम संख्या सामने आई) ) (उन्हें बोल्ड में हाइलाइट किया गया है) m=27।
घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए P(A)=m/n=27/36=0.75

अलग-अलग स्लाइडों द्वारा प्रस्तुतिकरण का विवरण:

1 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं का समाधान। गणित शिक्षक एमबीओयू निवन्यांस्काया माध्यमिक विद्यालय, नेचेवा तमारा इवानोव्ना

2 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

पाठ उद्देश्य: विचार करें अलग - अलग प्रकारसंभाव्यता सिद्धांत में समस्याएं और उन्हें हल करने के तरीके। पाठ का उद्देश्य: छात्रों को संभाव्यता सिद्धांत में विभिन्न प्रकार की समस्याओं को पहचानना सिखाना और स्कूली बच्चों की तार्किक सोच में सुधार करना।

3 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 1. एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को 2 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको समान संख्या में चित और पट प्राप्त होंगे।

4 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 2. एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कभी चित नहीं मिलेंगे।

5 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 3. एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शीर्ष ठीक एक बार दिखाई देगा। समाधान: किसी निर्दिष्ट घटना की संभावना का पता लगाने के लिए, प्रयोग के सभी संभावित परिणामों पर विचार करना और फिर उनमें से अनुकूल परिणामों का चयन करना आवश्यक है (अनुकूल परिणाम वे परिणाम हैं जो समस्या की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं)। हमारे मामले में, अनुकूल परिणाम वे होंगे जिनमें एक सममित सिक्के को दो बार उछालने पर केवल एक बार ही चित आता है। किसी घटना की संभावना की गणना अनुकूल परिणामों की संख्या और परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के रूप में की जाती है। इसलिए, संभावना है कि एक सममित सिक्का दो बार फेंकने पर, सिर केवल एक बार दिखाई देंगे, बराबर है: पी = 2/4 = 0.5 = 50% उत्तर: संभावना है कि, उपरोक्त प्रयोग के परिणामस्वरूप, सिर केवल एक बार दिखाई देगा 50% है. प्रयोग क्रमांक पहला थ्रो दूसरा थ्रो बार हेड की संख्या 1 हेड हेड 2 2 टेल टेल 0 3 हेड टेल 1 4 टेल हेड 1

6 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 4. पासे एक बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि फेंके गए अंकों की संख्या 4 से अधिक है। समाधान: यादृच्छिक प्रयोग - एक पासा फेंकना। प्राथमिक घटना नीचे की ओर की संख्या है। उत्तर: 1/3 कुल चेहरे: 1, 2, 3, 4, 5, 6 प्राथमिक घटनाएँ: N=6 N(A)=2

7 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 5. एक बायैथलीट पांच बार लक्ष्य पर गोली चलाता है। एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बायैथलीट पहले तीन बार लक्ष्य को मारता है और अंतिम दो बार चूक जाता है। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें। समाधान: हिट की संभावना = 0.8 चूक की संभावना = 1 - 0.8 = 0.2 ए = (हिट, हिट, हिट, मिस, मिस) प्रायिकता गुणन सूत्र के अनुसार पी(ए) = 0.8 ∙ 0.8 ∙ 0.8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 पी (ए) = 0.512 ∙ 0.04 = 0.02048 ≈ 0.02 उत्तर: 0.02

8 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 6. एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अंकों का योग 6 है। उत्तर को निकटतम सौवें समाधान में गोल करें: इस प्रयोग में प्रारंभिक परिणाम संख्याओं का एक क्रमित युग्म है। पहला नंबर पहले पासे पर दिखाई देगा, दूसरा दूसरे पर। कई प्राथमिक परिणामों को एक तालिका में प्रस्तुत करना सुविधाजनक होता है। पंक्तियाँ पहले पासे पर अंकों की संख्या के अनुरूप हैं, दूसरे पासे पर कॉलम। प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या n = 36 है। आइए प्रत्येक कोशिका में खींचे गए बिंदुओं का योग लिखें और उन कोशिकाओं को रंग दें जहां योग 6 के बराबर है। ऐसी 5 कोशिकाएं हैं। इसका मतलब है कि घटना A = ( निकाले गए अंकों का योग 6 है) 5 प्रारंभिक परिणामों द्वारा समर्थित है। इसलिए, m = 5. इसलिए, P(A) = 5/36 = 0.14. उत्तर: 0.14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

स्लाइड 9

स्लाइड विवरण:

संभाव्यता सूत्र प्रमेय मान लीजिए एक सिक्के को n बार उछाला जाता है। तब संभावना है कि शीर्ष बिल्कुल k बार दिखाई देंगे, सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: जहां Cnk k में n तत्वों के संयोजन की संख्या है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

10 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 7. एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है। ठीक तीन बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। समाधान समस्या की स्थितियों के अनुसार, कुल n = 4 थ्रो थे। उकाबों की आवश्यक संख्या: k =3. हम n और k को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: समान सफलता के साथ, हम शीर्षों की संख्या गिन सकते हैं: k = 4 - 3 = 1. उत्तर वही होगा। उत्तर: 0.25

11 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 8. एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कभी चित नहीं मिलेंगे। समाधान हम संख्याओं n और k को दोबारा लिखते हैं। चूँकि सिक्के को 3 बार उछाला जाता है, n = 3. और चूँकि कोई चित नहीं होना चाहिए, k = 0. सूत्र में संख्याओं n और k को प्रतिस्थापित करना बाकी है: मैं आपको याद दिला दूं कि 0! परिभाषा के अनुसार = 1. इसलिए C30 = 1. उत्तर: 0.125

12 स्लाइड

स्लाइड विवरण:

समस्या 9. एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चित, पट की तुलना में अधिक बार दिखाई देगा। समाधान: पूंछ की तुलना में अधिक सिर होने के लिए, उन्हें या तो 3 बार आना चाहिए (तब 1 पूंछ होगी) या 4 बार (तब कोई पूंछ नहीं होगी)। आइए इनमें से प्रत्येक घटना की प्रायिकता ज्ञात करें। माना p1 3 बार चित आने की प्रायिकता है। फिर n = 4, k = 3. हमारे पास है: अब आइए p2 खोजें - संभावना है कि सिर सभी 4 बार उतरेगा। इस मामले में, n = 4, k = 4. हमारे पास है: उत्तर प्राप्त करने के लिए, संभावनाओं p1 और p2 को जोड़ना बाकी है। याद रखें: आप केवल परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए संभावनाएं जोड़ सकते हैं। हमारे पास है: p = p1 + p2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125 उत्तर: 0.3125

स्लाइड 13

स्लाइड विवरण:

समस्या 10. वॉलीबॉल मैच शुरू होने से पहले, टीम के कप्तान यह निर्धारित करने के लिए उचित लॉटरी निकालते हैं कि कौन सी टीम गेंद से खेल शुरू करेगी। "स्टेटर" टीम बारी-बारी से "रोटर", "मोटर" और "स्टार्टर" टीमों के साथ खेलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि स्टेटर केवल पहला और आखिरी गेम शुरू करेगा। समाधान। आपको तीन घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी: "स्टेटर" पहला गेम शुरू करता है, दूसरा गेम शुरू नहीं करता है, और तीसरा गेम शुरू करता है। स्वतंत्र घटनाओं के उत्पाद की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होती है। उनमें से प्रत्येक की संभावना 0.5 है, जिससे हम पाते हैं: 0.5·0.5·0.5 = 0.125. उत्तर: 0.125.

संभाव्यता सिद्धांत पर समस्याओं में, जो एकीकृत राज्य परीक्षा संख्या 4 में प्रस्तुत की गई हैं, इसके अलावा, एक सिक्का उछालने और पासा फेंकने पर भी समस्याएं हैं। हम आज उन पर नजर डालेंगे.

सिक्का उछालने की समस्या

कार्य 1।एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शीर्ष ठीक एक बार दिखाई देगा।

ऐसी समस्याओं में, सभी संभावित परिणामों को P (पूंछ) और O (सिर) अक्षरों का उपयोग करके लिखना सुविधाजनक होता है। तो, ओपी के नतीजे का मतलब है कि पहली थ्रो पर हेड्स आए, और दूसरी थ्रो पर टेल्स आए। विचाराधीन समस्या में, 4 संभावित परिणाम हैं: आरआर, आरओ, या, ओओ। घटना "पूंछें बिल्कुल एक बार दिखाई देंगी" को दो परिणामों द्वारा पसंद किया जाता है: आरओ और ओपी। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.5.

कार्य 2.एक सममित सिक्का तीन बार उछाला जाता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह ठीक दो बार सिर पर गिरेगा।

कुल मिलाकर 8 संभावित परिणाम हैं: आरआरआर, आरआरओ, आरओआर, आरओओ, ओआरआर, ओरो, ओओआर, ओओओ। घटना "सिर ठीक दो बार दिखाई देंगे" को 3 परिणामों द्वारा समर्थित किया गया है: आरओओ, ओरो, ओओआर। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.375.

कार्य 3.फुटबॉल मैच शुरू होने से पहले, रेफरी एक सिक्का उछालकर यह निर्धारित करता है कि कौन सी टीम गेंद से शुरुआत करेगी। एमराल्ड टीम विभिन्न टीमों के साथ तीन मैच खेलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इन खेलों में "एमराल्ड" ठीक एक बार लॉट जीतेगा।

यह कार्य पिछले वाले के समान ही है. मान लीजिए कि हर बार शीर्ष पर पहुंचने का मतलब "एमराल्ड" के साथ बहुत कुछ जीतना है (यह धारणा संभावनाओं की गणना को प्रभावित नहीं करती है)। तब 8 परिणाम संभव हैं: आरआरआर, आरआरओ, आरओआर, आरओओ, ओआरआर, ओरो, ओओआर, ओओओ। घटना "पूंछें बिल्कुल एक बार दिखाई देंगी" को 3 परिणामों द्वारा पसंद किया जाता है: आरओओ, ओरो, ओओआर। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.375.

समस्या 4. एक सममित सिक्का तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आरओओ परिणाम घटित होगा (पहली बार जब यह हेड लैंड करता है, दूसरी और तीसरी बार यह हेड लैंड करता है)।

पिछले कार्यों की तरह, 8 परिणाम हैं: आरआरआर, आरआरओ, आरओआर, आरओओ, ओआरआर, ओरो, ओओआर, ओओओ। आरओओ परिणाम घटित होने की संभावना बराबर है।

उत्तर: 0.125.

पासा पलटने की समस्या

कार्य 5.पासे दो बार फेंके जाते हैं। प्रयोग के कितने प्रारंभिक परिणाम "अंकों का योग 8 है" घटना के पक्ष में हैं?

समस्या 6. दो पासे एक ही समय में फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 4 अंक होंगे। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें।

सामान्य तौर पर, यदि पासा फेंका जाता है, तो समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं। यदि एक ही पासे को लगातार कई बार घुमाया जाए तो समान संख्या में परिणाम प्राप्त होते हैं।

घटना "कुल संख्या 4 है" निम्नलिखित परिणामों द्वारा समर्थित है: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. उनकी संख्या 3 है। आवश्यक संभावना है।

किसी भिन्न के अनुमानित मान की गणना करने के लिए कोण विभाजन का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इस प्रकार, लगभग 0.083... के बराबर, निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करने पर हमें 0.08 प्राप्त होता है।

उत्तर: 0.08

समस्या 7. तीन पासे एक ही समय में फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 5 अंक होंगे। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें।

परिणाम को तीन संख्याओं पर विचार किया जाएगा: पहले, दूसरे और तीसरे पासे पर फेंके गए अंक। सभी समान रूप से संभावित परिणाम हैं। निम्नलिखित परिणाम "कुल 5" घटना के लिए अनुकूल हैं: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1। उनकी संख्या 6 है। अभीष्ट प्रायिकता है। किसी भिन्न के अनुमानित मान की गणना करने के लिए कोण विभाजन का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। लगभग हमें 0.027 मिलता है..., सौवें तक पूर्णांकित करने पर, हमें 0.03 मिलता है। स्रोत “एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी। अंक शास्त्र। सिद्धांत संभावना"। एफ.एफ. द्वारा संपादित लिसेंको, एस.यू. कुलबुखोवा

सिक्का उछालने की समस्या काफी कठिन मानी जाती है। और इन्हें सुलझाने से पहले थोड़ी सी व्याख्या जरूरी है. इसके बारे में सोचें, संभाव्यता सिद्धांत में कोई भी समस्या अंततः मानक सूत्र पर आती है:

जहाँ p वांछित संभाव्यता है, k उन घटनाओं की संख्या है जो हमारे लिए उपयुक्त हैं, n संभावित घटनाओं की कुल संख्या है।

अधिकांश B6 समस्याओं को इस सूत्र का शाब्दिक रूप से एक पंक्ति में उपयोग करके हल किया जा सकता है - बस शर्त पढ़ें। लेकिन सिक्के उछालने के मामले में यह सूत्र बेकार है, क्योंकि ऐसी समस्याओं के पाठ से यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि संख्याएँ k और n किसके बराबर हैं। यहीं कठिनाई है.

हालाँकि, कम से कम दो मौलिक रूप से भिन्न समाधान विधियाँ हैं:

1. संयोजनों की गणना करने की विधि एक मानक एल्गोरिदम है। चित और पट के सभी संयोजनों को लिख लिया जाता है, जिसके बाद आवश्यक संयोजनों का चयन किया जाता है;
2. एक विशेष संभाव्यता सूत्र संभाव्यता की एक मानक परिभाषा है, जिसे विशेष रूप से फिर से लिखा गया है ताकि सिक्कों के साथ काम करना सुविधाजनक हो।

समस्या B6 को हल करने के लिए आपको दोनों विधियों को जानना होगा। दुर्भाग्य से, स्कूलों में केवल पहला ही पढ़ाया जाता है। आइए स्कूल की गलतियाँ न दोहराएँ। तो चलते हैं!

संयोजन खोज विधि

इस विधि को "आगे का समाधान" भी कहा जाता है। तीन चरणों से मिलकर बनता है:

1. हम चित और पट के सभी संभावित संयोजनों को लिखते हैं। उदाहरण के लिए: OR, RO, OO, RR। ऐसे संयोजनों की संख्या n है;
2. प्राप्त संयोजनों में से, हम उन संयोजनों पर ध्यान देते हैं जो समस्या की स्थितियों के लिए आवश्यक हैं। हम चिह्नित संयोजनों को गिनते हैं - हमें संख्या k मिलती है;
3. यह प्रायिकता ज्ञात करना बाकी है: p = k: n।

दुर्भाग्य से, यह विधि केवल कम संख्या में थ्रो के लिए काम करती है। क्योंकि प्रत्येक नए थ्रो के साथ संयोजनों की संख्या दोगुनी हो जाती है। उदाहरण के लिए, 2 सिक्कों के लिए आपको केवल 4 संयोजन लिखने होंगे। 3 सिक्कों के लिए पहले से ही 8 हैं, और 4 के लिए - 16, और त्रुटि की संभावना 100% के करीब पहुंच रही है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप स्वयं सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको समान संख्या में चित और पट प्राप्त होंगे।

तो, सिक्का दो बार उछाला जाता है। आइए सभी संभावित संयोजनों को लिखें (O - हेड, P - टेल):

कुल n = 4 विकल्प. आइए अब उन विकल्पों को लिखें जो समस्या की स्थितियों के अनुकूल हों:

ऐसे k = 2 विकल्प थे। प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

काम। सिक्के को चार बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कभी चित नहीं मिलेंगे।

फिर से हम चित और पट के सभी संभावित संयोजनों को लिखते हैं:

ओओओओ ओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओओ
पू पू पू पोप पोप पोप पीपीओ पीपीओ पीपीपीओ पीपीपीपी

कुल मिलाकर n = 16 विकल्प थे। ऐसा लगता है जैसे मैं कुछ भी नहीं भूला हूँ। इन विकल्पों में से, हम केवल "ओओओओ" संयोजन से संतुष्ट हैं, जिसमें बिल्कुल भी पूंछ नहीं है। इसलिए, k = 1. संभाव्यता ज्ञात करना बाकी है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछली समस्या में मुझे 16 विकल्प लिखने थे। क्या आप आश्वस्त हैं कि आप उन्हें बिना एक भी गलती किए लिख सकते हैं? व्यक्तिगत रूप से, मुझे यकीन नहीं है. तो चलिए दूसरे समाधान पर नजर डालते हैं।

विशेष संभाव्यता सूत्र

तो, सिक्के की समस्याओं का अपना संभाव्यता सूत्र होता है। यह इतना सरल और महत्वपूर्ण है कि मैंने इसे एक प्रमेय के रूप में तैयार करने का निर्णय लिया। नज़र रखना:

प्रमेय. माना कि सिक्के को n बार उछाला गया है। तब संभावना है कि सिर ठीक k बार दिखाई देंगे, सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

जहां C n k k द्वारा n तत्वों के संयोजन की संख्या है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

इस प्रकार, सिक्के की समस्या को हल करने के लिए, आपको दो संख्याओं की आवश्यकता होगी: उछाल की संख्या और चित्त की संख्या। अधिकतर, ये संख्याएँ सीधे समस्या के पाठ में दी जाती हैं। इसके अलावा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप वास्तव में क्या गिनते हैं: पूंछ या सिर। उत्तर वही होगा.

पहली नज़र में, प्रमेय बहुत बोझिल लगता है। लेकिन एक बार जब आप थोड़ा अभ्यास कर लेंगे, तो आप ऊपर वर्णित मानक एल्गोरिदम पर वापस नहीं लौटना चाहेंगे।

काम। सिक्के को चार बार उछाला जाता है। ठीक तीन बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समस्या की स्थितियों के अनुसार, n = 4 कुल थ्रो थे। शीर्षों की आवश्यक संख्या: k = 3. सूत्र में n और k को प्रतिस्थापित करें:

काम। सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कभी चित नहीं मिलेंगे।

हम संख्याएँ n और k फिर से लिखते हैं। चूँकि सिक्के को 3 बार उछाला जाता है, n = 3. और चूँकि कोई चित नहीं होना चाहिए, k = 0. सूत्र में संख्याओं n और k को प्रतिस्थापित करना बाकी है:

मैं आपको याद दिला दूं कि 0! परिभाषा के अनुसार = 1. इसलिए सी 3 0 = 1.

काम। एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चित, पट की तुलना में अधिक बार दिखाई देगा।

पूँछ से अधिक सिर होने के लिए, उन्हें या तो 3 बार आना चाहिए (तब 1 पूँछ होगी) या 4 बार (तब कोई पूँछ ही नहीं होगी)। आइए इनमें से प्रत्येक घटना की प्रायिकता ज्ञात करें।

माना p 1 प्रायिकता है कि चित तीन बार दिखाई देंगे। तब n = 4, k = 3. हमारे पास है:

अब आइए पी 2 खोजें - संभावना है कि सिर सभी 4 बार दिखाई देंगे। इस मामले में n = 4, k = 4. हमारे पास है:

उत्तर पाने के लिए, केवल संभावनाओं पी 1 और पी 2 को जोड़ना बाकी है। याद रखें: आप केवल परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए संभावनाएं जोड़ सकते हैं। हमारे पास है:

पी = पी 1 + पी 2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125